જો રેખાઓ frac{x - 1}{alpha} = frac{y + 1}{-1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) બીજી રેખા બે સમતલોના છેદબિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x + y + z + 1 = 0$ અને $2x - y + z + 3 = 0$.છેદતી રેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના પરિવારનું સમીકર

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{32}{19}$

Vedclass · Answer

(C) બીજી રેખા બે સમતલોના છેદબિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x + y + z + 1 = 0$ અને $2x - y + z + 3 = 0$.છેદતી રેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના પરિવારનું સમીકરણ $(x + y + z + 1) + \lambda(2x - y + z + 3) = 0$ છે, જેનું સાદું રૂપ $(1 + 2\lambda)x + (1 - \lambda)y + (1 + \lambda)z + (1 + 3\lambda) = 0$ થાય છે.પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (\alpha, -1, 1)$ છે. સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$ છે.રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી, $\vec{v_1} \cdot \vec{n} = 0$, તેથી $\alpha(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$, જે $\alpha(1 + 2\lambda) + 2\lambda = 0$ આપે છે, અથવા $\alpha = -\frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}$.રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત., $(1, -1, 0)$) થી સમતલનું લંબ અંતર છે:$d = \frac{|(1 + 2\lambda)(1) + (1 - \lambda)(-1) + (1 + \lambda)(0) + (1 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.અંશનું સાદું રૂપ: $|1 + 2\lambda - 1 + \lambda + 1 + 3\lambda| = |6\lambda + 1|$.છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{1 + 4\lambda + 4\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 4\lambda + 3}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(6\lambda + 1)^2}{6\lambda^2 + 4\lambda + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(36\lambda^2 + 12\lambda + 1) = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3$.$108\lambda^2 + 36\lambda + 3 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3 \Rightarrow 102\lambda^2 + 32\lambda = 0$.આમ, $\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -\frac{32}{102} = -\frac{16}{51}$.જો $\lambda = 0$ હોય, તો $\alpha = 0$. જો $\lambda = -\frac{16}{51}$ હોય, તો $\alpha = -\frac{2(-16/51)}{1 + 2(-16/51)} = \frac{32/51}{(51 - 32)/51} = \frac{32}{19}$.

જો રેખાઓ $\frac{x - 1}{\alpha} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}, (\alpha \ne -1)$ અને $x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય, તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

બે સમતલો $x+2y-3z+2=0$ અને $6x+y+z+1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને રેખા $x-1=y+2=7-z$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module